宇宙船DS-12号の高度と速度の検証



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題名:宇宙船DS-12号の高度と速度の検証
報告者:ログ

 DS-12号は幸村誠氏の漫画「プラネテス」の冒頭に出てくる宇宙船で、デブリ(*)の回収を専門とする乗組員の母船であるが、そのDS-12号は漫画の上では、宇宙空間の高度210kmに位置し、秒速8kmで地球を周回飛翔しているとされている。そこで、今回は、この値を検証することを目的に計算を実施した。
 DS-12号は、質量mで、地表からの高度hで等速円運動していると仮定する。さらに、地球の質量 M、地球の半径 Rとする。それを図に示す。定数として、重力加速度g、万有引力定数 G とすると、DS-12号の速度vは以下の式で求められる2)。

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図 DS-12号の仮定2)

v=√(gR^2)/(R+h)

これについては、まず運動方程式のma=Fをもとにして考えると、等速円運動で向心加速度はa=(R+h) ω^2から(ただし、ωは角速度)、m(R+h) ω^2=Fとなる。v=(R+h)ωであることから3)、先の式にωを代入して、

m v^2/(R+h)=F

となる。Fは万有引力で

F=G Mm/(R+h)^2

となることから2)、これらを整理すると、

m v^2/(R+h)=G Mm/(R+h)^2

となり、また、GM=gR^2となることから2)、これらを利用して先のvで表される。
 地球の半径Rは6378.137kmであり4)、また、重力加速度gは9.8m/s2であり、かつ、DS-12号は高度hの210kmに位置することから、これらの値を式に代入すると、

v=√(9.8(6378137)^2)/(6378137+210000)

となる。これを計算すると、v=7779.0322…となり、秒速約8000m=秒速約8kmとなる。すなわち、DS-12号の高度と速度の関係は正しいことが、ここで検証された。

*: 宇宙空間にあって役割を果たさない人工物体の総称。宇宙ゴミ1)。
1) 幸村誠: プラネテス 1. 講談社. 10. 2001.
2) http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/bannyuu/jinnkou.html (閲覧2016.8.31)
3) http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/enn/kousinn.html (閲覧2016.8.31)
4) https://ja.wikipedia.org/wiki/地球半径 (閲覧2016.8.31)

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