地底たる謎の研究室

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四次元超地球の体積と面積 -そのⅡ-



「宇宙コロニー( Off-world colonies )での新しい生活が貴方を待っています。チャンスと冒険に満ちた黄金の土地に、再び巡ってきた好運。」 “A new life awaits you in the Off-world colonies. The chance to begin again in a golden land of opportunity and adventure.”

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題名:四次元超地球の体積と面積 -そのⅡ-
報告者:ログ

 本記事は、この記事の続きです。

 d(d=4, 5, 6, …)として、三次元以上の高次元における球は超球と呼ばれ、このことから、四次元における地球は、実は超地球と名称できる。これについては、先の記事で示した通りである。すなわち、一般的に求めていた球の体積や面積は、現実の超地球で考えると、次元が一つ足りないことになる。そのため、宇宙空間における地球の体積や面積を求めるとすると、四次元での超球として求めるのが正しいのかもしれない。そこで、本記事では超地球として四次元での地球の体積と面積を求めたい。
 d次元における超球の体積と面積は、以下のように定式化される。

V=1/Γ(d/2+1) π^(d/2) r^d

ここで、dは次元を示し、rは超球の半径を示す。Γはオイラーのガンマ函数である1)。四次元であることから、Γ(3)=2!=2となり2)、超地球の体積Vは

V=1/2 π^2 r^4

で求められる。地球の半径は6.3781×106 mであることから、Vは約8158.2046×1024 m4となる。d次元の超球の面積S(正確には、超球の面積を超球面と呼ぶ3))の一般式は、

S_d=d/dr V_(d+1)

で表せ、先の記事で気づいたように、V(d+1次元)の半径rに関する微分がS(d次元)となる1)。そのため、超地球の面積Sは

S=2π^2 r^3

となり、Sは約5116.3855×1018 m3となる。三次元での地球の体積は1086.2814×1018 m3となる。これから、四次元面積 vs 三次元体積での比較では、約4.71倍の差が生じる。これは何を意味するのか?

1) https://ja.wikipedia.org/wiki/超球の体積 (閲覧2018.5.17)
2) https://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ関数 (閲覧2018.5.17)
3) https://ja.wikipedia.org/wiki/超球面 (閲覧2018.5.17)

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